Колорирование в два цвета: Окрашивание волос в два цвета: красивая двухцветная покраска (фото)

Содержание

Окрашивание волос в два цвета: красивая двухцветная покраска (фото)

На чтение 8 мин. Просмотров 129k. Опубликовано 23.07.2017 Обновлено 22.09.2020

Окрашивание волос в два цвета – это одна из последних тенденций, которая пользуется огромным спросом среди современных модниц. Данная технология представлена массой самых разных вариаций, поэтому вам наверняка будет из чего выбрать.

Содержание

Преимущества двойной покраски
Как выбрать тип двухцветного окрашивания – полезные советы
Как покрасить волосы в домашних условиях?

Преимущества двойной покраски

Двойная покраска приобрела широкую популярность в силу своих преимуществ:

За счет переходов цвета увеличивает объем и пышность редких волос;
Считается щадящей и наносит меньший вред;
Освежает образ и делает женщину привлекательнее и моложе;
Если выбрать естественные оттенки, корни не будут бросаться в глаза. Это позволит сэкономить время и средства, потраченные на поход к парикмахеру;
Является универсальной – двойное окрашивание одинаково хорошо смотрится на дамах всех возрастов и прядях любой длины, густоты или текстуры;
Отличается большим разнообразием, из которого каждая из вас сможет подобрать подходящий вариант.

Окрашивание в два цвета – вариации на тему

Специалисты выделяют такие виды окраски волос двумя цветами.

Брондирование

Эта покраска пользуется огромной популярностью не только у голливудских звезд, но и у обычных женщин. Брондирование (blond + brown), сочетающее в себе шоколадные и золотистые нотки, выглядит очень природно и идеально подходит для брюнеток и шатенок. Как и принято в современной парикмахерской моде, его выполняют без резких и контрастных переходов. Еще одним важным условием является гармоничное сочетание применяемых оттенков не только друг с другом, но и с естественным цветом.

О видах брондирования читайте в этой статье.

Шатуш

Шатуш – невероятно красивая техника, имитирующая натуральное выгорание шевелюры. Базовый оттенок прядей – насыщенный и глубокий, дополнительный цвет – светлый, играющий на контрасте. Пряди для такой покраски отбирают в произвольном порядке, что придает волосам невероятный объем и отменный внешний вид. При этом от корневой зоны отступают пару сантиметров, что положительно сказывается на здоровье шевелюры. Шатуш идеально ложится как на длинные, так и на короткие волосы.

Читайте также: как сделать шатуш в домашних условиях — особенности покраски

Балаяж

Как видно на этих фото, балаяж предусматривает окрашивание кончиков волос и челки с помощью другого цвета. В классическом варианте – за счет светлого оттенка, близкого к родному тону. Для более смелых женщин можно подобрать оттенки яркой и контрастной гаммы – фиолетовый, зеленый, красный, розовый и синий. Эту технику легко воспроизвести в условиях дома. Главное – не передержать краску, иначе придется срезать пережженные концы.

Мажимеш

Еще один вид щадящего окрашивания, для выполнения которого используются средства без агрессивных компонентов. Мажимеш – это лучший вариант для блондинок, которые бережно относятся к своей шевелюре. Для покраски применяют натуральные тона, хорошо сочетающиеся с родным цветом волос.

Частичная или зональная покраска

Частичное двойное окрашивание позволяет сделать акцент на кончиках, челке или же отдельных зонах. Это прекрасный способ внести нотки новизны, не меняя кардинально цвет собственной шевелюры. Для зонального окрашивания применяют как натуральные, так и контрастные оттенки.

Мелирование

Мелирование знакомо абсолютно всем современным модницам — его часто применяют женщины всех возрастов. Суть этого метода заключается в окрашивании отдельных тонких прядей в цвета светлой палитры. При этом новый оттенок может как сочетаться с исходным, так и кардинально от него отличаться. Мелирование двумя цветами выполняют и на светлую, и на темную шевелюру, поэтому данная техника по праву считается универсальной.

Смотрите также: виды мелирования на темные волосы и светлые волосы

Колорирование

Модные варианты окрашивания нынешнего сезона не могут обойтись без колорирования. Для этой техники характерно разделение волос на мелкие пряди и дальнейшую покраску их в различные цвета. Граница между тонами может быть как очень мягкой, так и хорошо заметной.

Омбре

Технологию окрашивания, при котором верх светлый, а низ темный или же наоборот, называют омбре или поперечным колорированием. Омбре бывает трех видов:

Классическое. В классическом варианте ему свойственен эффект хорошо отросших корней, окрашенных в темных цвет, и осветленных концов — темный верх и светлый низ;
Яркое. Для смелых и дерзких дам идеально подойдет креативное омбре, предполагающее использование ярких цветов – розовых, рыжих, зеленых, красных, синих и др.;
«Конский хвост». Отлично смотрится на длинноволосых женщинах, обожающих хвосты. Эффект будет точно таким же, как и при традиционном окрашивании – это плавный переход от темной корневой зоны к высветленным концам. Единственное отличие – линия окрашивания должна проходить на уровне резинки.

Также есть варианты, при которых граница между двумя оттенками проходит по диагонали или же другой оттенок наносится полосой. Границу между тонами растушевывают кистью или же делают четкой. Поперечное колорирование доступно для выполнения в домашних условиях, ведь для этой процедуры не нужны какие-то особые парикмахерские навыки. Что интересно, для омбре не существует четких правил, что позволяет проводить самые разные эксперименты с собственной внешностью.

Читайте также: омбре для средних и длинных волос — как подобрать оттенок

Цветные кончики

При таком типе двухцветного окрашивания, который лучше всего смотрится на черных волосах, тонируют лишь концы. Для этой технологии применяют самые разные цвета – как яркие, так и натуральные. Цветные кончики замечательно выглядят на стрижках любой длины – длинных, средних и коротких.

Советы, которые помогут Вам сделать колорирование волос самостоятельно:

Split окрашивание

Технология, предполагающая разделение шевелюры на две части и покраску их в различные оттенки, называется split окрашиванием. К нему прибегают звезды (Леди Гага, Ники Минаж) и обычные девчонки, которым хочется яркости и разнообразия. Граница между цветами может проходить вертикально (по пробору) или вертикально.

По мнению специалистов лучшими сочетаниями являются:

Черный/рыжий;
Черный/белый;
Карамельный/темный шоколад;
Синий/фиолетовый;
Каштановый/медный;
Алый/баклажан/бордовый/темно-коричневый.

3D–окрашивание или объемное колорирование

Для данной техники характерно применение как темной, так светлой палитры. При этом разница между оттенками должна оставаться максимально размытой и практически незаметной. Благодаря такому решению можно добавить укладке неповторимый объем. Выполнять эту сложную покраску необходимо в салоне – сделать ее самой себе у вас вряд ли получится.

Вам будет интересно: достоинства и недостатки 3D окрашивания

Колорирование широкими прядями

Колорирование двумя цветами является современным аналогом мелирования, при котором для покраски отбираются достаточно широкие пряди. Для получения натурального эффекта советуем остановиться на естественной палитре. Для любительниц эпатажа больше подойдут красочные контрастные цвета.

Трафаретное окрашивание

Выглядит очень красиво и довольно необычно. Главным условием для трафаретной техники являются идеально гладкие и прямые волосы. К сожалению, на кудрях и вьющихся волосах эффект будет незаметен. Специалисты утверждают, что проведение трафаретной покраски требует огромного опыта, поэтому доверять его можно только специалистам. Но многие девушки с удовольствием делают его своими руками, используя специальный шаблон и смывающиеся красители (мелки, спреи или гели).

Как выбрать тип двухцветного окрашивания – полезные советы

При выборе окрашивания волос в два цвета необходимо учесть несколько важных советов.

Совет 1. В зрелом возрасте лучше избегать чересчур ярких цветов. Помните, контрастные оттенки лишь подчеркивают возраст.

Совет 2. Брондирование одинаково хорошо подходит как прямым, так и волнистым волосам – в этом нет абсолютно никаких ограничений. К тому же эта техника хорошо структурирует прическу, подчеркивает скулы и освежает цвет лица, что наверняка понравится обладательницам бледной или слишком тусклой кожи.

Совет 3. Делая омбре на прямой шевелюре, будьте крайне осторожны, ведь на гладкой шевелюре видна каждая оплошность. При вьющихся волосах подобных проблем не будет – локоны скроют нюансы.

Совет 4. Мелирование прекрасно смотрится на смуглых женщинах, так как просто идеально оттеняет легкий загар.

Совет 5. На средние волосы, не отличающиеся особой густотой, лучше не наносить контрастные оттенки. В этом случае стоит остановиться на шатуш, плавном брондировании или 3D-окрашивании. Они добавят объем.

Совет 6. Чем плавнее переходы и естественней оттенки, тем моложе будет облик.

Совет 7. Для редких и тонких прядей советуют выбирать мягкий натуральный тон, который и обеспечит дополнительную пышность. А вот контрастный переход не в состоянии дать такого эффекта, поэтому их можно применять только на густой шевелюре.

Совет 8. Сделав двойное окрашивание на каре, вы сможете подчеркнуть скулы, губы и глаза.

Совет 9. При выборе тона краски учтите свой цветотип (цвет глаз, кожи и волос).

Совет 10. Чтобы обеспечить получение чистых оттенков и легко прокрасить только один конкретный участок, воспользуйтесь фольгой или специальной пластиковой косынкой.

Как покрасить волосы в домашних условиях?

Эта подробная схема позволит покрасить пряди в два цвета без помощи мастеров.

Шаг 1. Подготовьте все необходимое для окрашивания:

Краска;
Осветлитель;
Кисть;
Емкости для смешивания составов;
Накидка;
Расческа;
Шампунь;
Фольга;
Зажимы;
Бальзам;
Жирный крем для защиты кожи.

Шаг 2. Отделите те области или пряди, которые собираетесь красить. Для удобства закрепите их зажимами.

Шаг 3. Если волосы темные, их придется предварительно осветлить. Для этого приготовьте состав по инструкции, описанной на упаковке, нанесите его на волосы, выждите нужное время и промойте теплой водой. Чтобы не испачкать остальную шевелюру, подложите под пряди кусочки фольги.

Шаг 4. Приготовьте красящий состав и выполните двухцветное тонирование осветленных волос. Нанесите его на пряди и убедитесь, что краска распределена равномерно и правильно.

Шаг 5. Выждите около 20 минут и промойте водой с шампунем.

Шаг 6. Воспользуйтесь бальзамом.

Важно! Чтобы не ошибиться с сочетанием оттенков, купите готовый набор или подберите два оттенка из одной линейки одного и того же производителя. Они могут быть светлее или темнее исходного цвета прядей не больше, чем на 3 тона.

Смотрите также: Как сделать классическое мелирование волос (видео)

21 идея с фото и обзор 3 средств

Два оттенка лучше одного? В экспериментах с окрашиванием уж точно! К тому же есть масса техник и способов, которые позволяют гармонично соединять цвета. О них — подробнее

Содержание

Каким бывает окрашивание в два цвета и кому оно подойдет?
Двухцветное окрашивание коротких волос: фотоидеи
Средние волосы
Длинные волосы
Окрашивание в два тона на волнистых волосах
Модные варианты окраса в два тона для светлых и темных волос
Как красиво покрасить волосы в два цвета самой?
Обзор средств для окрашивания волос в два цвета

Есть много веских причин выбрать двухцветное окрашивание. Причем актуальны они и для тех, кто за естественность, и для тех, кто хочет стать ярче. Но важнее будет даже не выбор оттенков, а техника. Если, например, вы хотели соединить «молочный шоколад» с блондом, но промахнулись с методом окрашивания — получите четкую границу между двумя цветами. Едва ли такой результат можно назвать удачным. Разбираемся в приемах, которые используют колористы, и подсказываем, как изменить образ с помощью домашнего окрашивания.

Каким бывает окрашивание в два цвета и кому оно подойдет?

Чаще всего подобное окрашивание выполняют таким образом, чтобы получилась «растяжка» с плавным переходом от одного оттенка к другому, как на фото. То, как они сливаются друг с другом, выглядит эффектно — даже если основой образа стали естественные цвета.

Правда, нужно понимать, что для этого требуется достаточная длина волос. На девушках со стрижкой пикси такое окрашивание вряд ли возможно. А короткого каре будет недостаточно, чтобы вышло мягкое размытие границы. Им будет проще сделать однотонное окрашивание.

Существует множество техник, которыми пользуются колористы, чтобы создать на волосах выразительные переливы оттенков.

Мелирование — это, пожалуй, одна из самых известных техник: при таком окрашивании второй цвет наносят на волосы прядями, причем от самых корней до кончиков. Они зачастую резко выделяются на общем фоне, поэтому со временем тренд сошел на нет — колористы отдают предпочтение техникам без сильных контрастов. Но если вы захотите поэкспериментировать, такого эффекта легко добиться с помощью краски Preference от L’Oréal Paris в оттенке Glam Light.

© loreal-paris.ru
Омбре — это, как правило, переход от темных корней к светлым концам. По мере эволюции тренда использовать стали разные сочетания цветов; главным же остался эффект градиента примерно на середине длины. Также есть техника под названием «сомбре»: это создание перехода между оттенками только на некоторых тонких прядях. Результат получается гораздо мягче и естественнее.

© loreal-paris.ru
Шатуш — еще одно название техники градиентного окрашивания. Обычно с его помощью создают эффект выгоревших на солнце волос, игру света и тени — между светлыми и темными прядями.

© lorealhair
Балаяж — похожая на шатуш техника, только гораздо чаще это не двухцветное окрашивание. Для более мягких переливов используют несколько оттенков и получают все тот же «солнечный» эффект.

© loreal-paris.co.uk

Этим дело не ограничивается. Помимо классических горизонтальных и вертикальных техник, есть также зональное окрашивание, когда в отдельные цвета волосы красят целыми секциями. А еще — окрашивание с трафаретом, которое позволяет создать рисунки на волосах — в первую очередь на прямых, гладких.

Вернуться к оглавлению

Двухцветное окрашивание коротких волос: фотоидеи

Короткими волосы считаются и в стрижке «под мальчика», и в каре до подбородка. Универсального окрашивания под эти два случая, если в нем хочется соединить два тона, нет. Омбре точно не подойдет: при такой длине плавный переход между оттенками, скорее всего, не получится. Градиент выйдет лишь в том случае, если растяжку цвета начать от самых корней.

Если к контрастному цвету на корнях вы не готовы, тогда обращайтесь к окрашиванию в два цвета прядями. Тонкие, едва заметные или же крупные — выбор за вами. Подробнее о том, как сделать окрашивание прядями в зависимости от цвета волос, мы рассказывали здесь.

Более деликатно будет выглядеть легкое «перьевое» окрашивание с тонкими цветными штрихами, даже если использовать яркий неоновый цвет на более темном фоне. Обладательницам каре может понравиться и привычное мелирование, если тонко покрасить в мятный, пастельный розовый или голубой множество прядей на разных слоях волос. Эффект получится таким, будто цвет «затерялся» в основной массе волос и в движении то и дело проглядывает, создавая переливы оттенков.

Вернуться к оглавлению

Средние волосы

Девушкам, которые носят стрижку средней длины, в двухцветном окрашивании доступно гораздо больше вариантов. Это и эффект выгоревших на солнце волос, с которым брюнетка наполовину становится блондинкой, и омбре с абсолютно любым сочетанием цветов (и пастель, и неон — использовать можно все), и шатуш с разным уровнем перехода оттенков на разных прядях.

Если подобрать технику окрашивания не только под длину волос, но и под форму, которую им придал парикмахер, образ точно получится продуманным и завершенным. Если стрижка сделана с расчетом на то, чтобы волосы выглядели объемнее, окрашиванием в два цвета это можно дополнительно подчеркнуть.

Вернуться к оглавлению

Длинные волосы

С длинными волосами и самим колористам работать особенно интересно: это большие возможности для реализации самых разных идей в окрашивании. Можно запросто увеличить переход между оттенками, сделав его более протяженным и потому плавным.

Можно поднимать или опускать границу на стыке двух цветов на разных прядях, добавляя прическе объема. Еще вариант — подчеркнуть цветом и корни, и кончики, используя опять же эффект омбре.

Тем, кто не боится контрастов и по-настоящему смелых решений, можно разделить волосы на две части привычным пробором, а потом правую покрасить одним цветом, левую — другим. После «соединять» их можно с помощью разных вариантов плетений.

Вернуться к оглавлению

Окрашивание в два тона на волнистых волосах

Выразительный эффект омбре на зеркально сияющей глади прямых волос не то же самое, что и градиент на волнах или кудрях. Девушкам с такими волосами нужны решения, которые учитывают структуру их волос, то, как формируется и ложится завиток в сухом виде.

Хотя создавать объем с помощью окрашивания им не нужно, все равно техники вроде шатуша и балаяжа дают лучший результат на волнистых и кудрявых волосах.

Вернуться к оглавлению

Модные варианты окрашивания в два тона для светлых и темных волос

Блондинкам

У девушек со светлыми волосами на пике популярности уже много лет остаются окрашивания с эффектом выгоревших волос. Омбре, шатуш, балаяж — мастера берутся за эти техники и уже с одним дополнительным оттенком добиваются более яркого и солнечного образа.

Но этим блондинки не ограничиваются. Ведь популярны и смелые окрашивания, которые привлекают к себе внимание за счет контраста: на фоне естественного цвета волос красный, синий, зеленый, фиолетовый, розовый и многие другие оттенки раскрывают себя неожиданным образом. Попробуйте, например, нежно-розовый оттенок «Фламинго» из коллекции Colorista Washout от L’Oréal Paris. где найти?

В случае с блондом, кстати, для бьюти-экспериментов подойдет и цветная пастель. Результат будет более мягким, но оттого не менее интересным. Чаще всего блондинки выбирают нежно-розовый оттенок и окрашивают им пряди. Смешиваясь со «своими» светлыми, они создают эффект «клубники со сливками»; благодаря этому кардинальной смены образа не происходит, зато выглядит он все равно необычно.

Брюнеткам

Брюнеткам легко стать наполовину блондинками, выполнив осветление с плавным переходом от темного оттенка у корней к золотистому на кончиках.

«Бронд» стал уже привычным вариантом окрашивания. Результат воспринимают как естественный.

Когда же нет цели получить образ с натуральными оттенками, в ход можно пустить более яркие цвета, только нужно помнить, что выбор придется сделать в пользу красителей почти что с неоновым эффектом. Более мягкие и светлые оттенки не будут видны на волосах брюнеток. Поэтому если и красить пряди, то в «электрический» синий, кислотный зеленый, розовый неон или, например, сочный рыжий. Такие оттенки вы легко найдете в линейке Colorista Hair Make Up от L’Oréal Paris. Это «Неоновая русалка» и «Неоновый единорог» .

При перманентном окрашивании волосы придется предварительно осветлить. Если выбирать средства с временным эффектом, такого воздействия можно избежать.

Вернуться к оглавлению

Как красиво покрасить волосы в два цвета в домашних условиях?

Покрасить волосы самостоятельно в домашних условиях несложно. Два цвета — это не так много, смешивать составы, как колористам в салоне, вам не придется, но нужно будет уделить внимание выбору средств-красителей. Прежде чем окончательно перевоплотиться, попробуйте изменить цвет волос на пару дней или на неделю-другую. Есть средства, с которыми вы сделаете это быстро и получите красивый результат, даже если ранее никогда не пробовали сами красить волосы. Например, желе Colorista Hair Makeup от L’Oréal Paris.

Как его наносить, мы показывали в этом видео.

Предварительно нужно помыть голову и высушить волосы, а потом уже на чистые наносить краситель. Делать это можно вручную или же с помощью кисти. Второй вариант может обеспечить более точное нанесение цвета. Также бывают средства в формате спрея, которые не потребуют дополнительных инструментов для окрашивания. Такие как Colorista Spray от L’Oréal Paris.

Положите на плечи полотенце, чтобы в процессе случайно не испачкать одежду.

Вернуться к оглавлению

Обзор средств для окрашивания волос в два цвета

Colorista Spray, L’Oréal Paris
© loreal-paris.ru
Яркое двухцветное окрашивание нужно только на один вечер? Быстро создать образ с цветными прядями или яркими секциями волос можно с помощью спрея, которым лишь нужно сбрызнуть их «насухую». Colorista Spray отлично подойдет на тот случай, когда времени очень мало и смыть краску, высушить волосы, заново уложить возможности нет. Оттенок, какой бы вы ни выбрали, будет максимально насыщенным: краска обволакивает волосы снаружи, и потому ее яркость ничем не поглощается. Даже на брюнетках можно будет увидеть цвет во всей его глубине. Потом, после мытья головы, он исчезнет с волос, образ вернется к исходному.
Colorista Hair Makeup, L’Oréal Paris
© loreal-paris. ru
Это средство другого формата. Его стоит использовать тем, у кого есть время на более тщательное окрашивание. Желе Colorista Hair Makeup сначала распределяют по выбранным прядям, потом же их сушат феном, чтобы цвет смог проявить себя в полной мере. Некоторые оттенки — например, синий, зеленый — лучше будут выглядеть на блондинках, так как на темных волосах, возможно, не покажут всю свою яркость. С получившимся образом вы можете провести день-два — до следующего применения шампуня, который смоет краску и вернет волосам первоначальный вид.
Colorista Washout, L’Oréal Paris
© loreal-paris.ru
На более длительный результат рассчитан бальзам Colorista Washout. Ваше новое двухцветное окрашивание будет держаться неделю-полторы или до двух-трех применений шампуня. За это время вы точно сможете понять, хотите ли остаться в новом образе. Средство нужно будет оставить на волосах на 15–30 минут, время выбирайте исходя из того, насколько стойкий и интенсивный результат хочется получить. После этого смойте состав водой (без шампуня) и приступайте к укладке — уже с новым цветом.

Какая из техник двухцветного окрашивания вам ближе всего? Расскажите о своих экспериментах с оттенком волос в комментариях.

Вернуться к оглавлению

5.8 Раскраска графика

Как мы кратко обсуждали в разделе 1.1, наиболее Знаменитая проблема раскраски графа — это, безусловно, проблема раскраски карты. предложенный в девятнадцатом веке и окончательно решенный в 1976 году.

Определение 5.8.1 Правильная раскраска графа — такое присвоение цветов вершинам графа, что никакие два соседние вершины имеют одинаковый цвет. $\квадрат$

Обычно мы опускаем слово «правильная», если только другие типы окраски не используются. также в стадии обсуждения. Конечно, «цвета» не обязательно должны быть актуальные цвета; они могут быть любыми различными метками — целыми числами, для пример. Если граф несвязен, каждая компонента связности может быть окрашены самостоятельно; если не указано иное, мы предполагаем, что графы подключены. Мы также предполагаем, что графы в этом разделе простые.

Пример 5.8.2. Если вершины графа представляют академические классы, а две вершины смежны, если в соответствующих классах есть люди общий, то раскраска вершин может быть использована для планирования занятий встречи. Здесь цвета будут обозначать время расписания, например 8MWF, 9MWF, 11ТТ и др. $\квадрат$

Пример 5.8.3. Если вершины графа представляют радиостанции, а две вершины являются смежными, если станции расположены достаточно близко к мешают друг другу, можно использовать раскраску, чтобы назначить частоты, не создающие помех для станций. $\квадрат$

Пример 5.8.4. Если вершины графа представляют сигналы светофора в пересечение, и две вершины смежны, если соответствующие сигналы не могут быть зелеными одновременно, можно использовать окраску, чтобы обозначают наборы сигналов, которые могут быть зелеными одновременно. $\квадрат$

Определение 5.8.5. Множество $S$ вершин в графе является независимым, если никакие два вершины $S$ смежны. $\квадрат$

Если граф правильно раскрашен, вершины, которым присвоены определенный цвет образует независимый набор. Имея граф $G$, легко чтобы найти правильную раскраску: дайте каждой вершине различную цвет. Ясно, что интересное количество — это минимальное количество цвета, необходимые для раскрашивания. Также легко найти независимых наборы: просто выберите вершины, которые взаимно несмежны. Один набор вершин, например, является независимым и обычно находит большее независимые множества легко. Интересное количество — максимальный размер независимого множества.

Определение 5.8.6 Хроматическое число граф $G$ — минимальное количество цветов, необходимое для правильной раскраски; она обозначается $\chi(G)$. номер независимости от $G$ максимальный размер независимого множества; он обозначается $\alpha(G)$. $\квадрат$

Естественный первый вопрос об этих графические параметры является: насколько маленькими или большими они могут быть в графе $G$ с $n$ вершины. Легко видеть, что $$\выравнивание{ 1&\le \chi(G)\le n\cr 1&\le \alpha(G)\le n\cr }$$ и что все пределы достижимы: граф без ребер имеет хроматическое число 1 и число независимости $n$, а полный граф имеет хроматическое число $n$ и число независимости 1. Эти неравенства поэтому не очень интересны. Мы увидим некоторые, которые более интересный.

Другой естественный вопрос: какова связь между хроматическим номер графа $G$ и хроматический номер подграфа $G$? Это тоже просто, но иногда весьма полезно.

Доказательство. Любая раскраска $G$ обеспечивает правильную раскраску $H$ просто за счет присвоение тем же цветам вершинам $H$, что и в $G$. Это означает, что $H$ можно раскрасить в цвета $\chi(G)$, например еще меньше, чего мы и хотим. $\qed$

Часто этот факт интересен «наоборот». Например, если $G$ имеет подграф $H$, являющийся полным графом $K_m$, то $\chi(H)=m$ и, следовательно, $\chi(G)\ge m$. Подграф $G$, являющийся полным графом, называется клик , и есть соответствующий графический параметр.

Определение 5.8.8. кликовое число графа $G$ равно наибольшее $m$ такое, что $K_m$ является подграфом $G$. $\квадрат$

Заманчиво предположить, что только способов графа $G$ может потребоваться $m$ цветов при наличии такого подграфа. Это неверно; графы могут иметь высокое хроматическое число при низком кликовом числе; см. рисунок 5.8.1. Легко видеть, что это граф имеет $\chi\ge 3$, потому что в графе много 3-клик. график. В общем случае может быть трудно показать, что граф не может быть раскрашены заданным числом цветов, но в этом случае легко видим, что на самом деле граф нельзя раскрасить тремя цветами, потому что так много «вынуждено». Предположим, что граф можно раскрасить с помощью 3 цвета. Начиная слева если вершина $v_1$ получает цвет 1, тогда $v_2$ и $v_3$ должны быть окрашены в цвета 2 и 3, а вершина $v_4$ должен быть цвета 1. Продолжая, $v_{10}$ должен быть цвета 1, но это не допускается, поэтому $\chi>3$. С другой стороны, поскольку $v_{10}$ может быть цвет 4, мы видим $\chi=4$.

Пол Эрдёш показал в 1959 г., что существуют графы с произвольно большое хроматическое число и сколь угодно большой обхват (обхват это размер наименьшего цикла в график). Это гораздо сильнее, чем существование графов с высокой хроматическое число и низкое кликовое число.

Рисунок 5.8.1. Граф с кликой номер 3 и хроматическим числом 4.

Двудольные графы хотя бы с одним ребром имеют хроматическое число 2, так как две части являются независимыми наборами и могут быть окрашены с помощью один цвет. И наоборот, если граф можно раскрасить в 2 цвета, он двудольный, так как все ребра соединяют вершины разных цветов. Этот означает, что двудольные графы легко идентифицировать: раскрасьте любую вершину цвет 1; раскрасьте его соседей цветом 2; продолжая таким образом будет или не будет успешно раскрашивать весь график двумя цветами. Если оно терпит неудачу, граф не может быть двухцветным, так как все варианты вершин цвета принудительные. 9\чи |V_i| \ле \чи\альфа, $$ по желанию. $\qed$

Мы также можем улучшить верхнюю границу для $\chi(G)$. В любом графе $G$ $\Delta(G)$ — максимальное степень любой вершины.

Теорема 5.8.10. В любом графе $G$ $\ds \chi\le\Delta+1$.

Доказательство. Мы показываем что мы всегда можем раскрасить $G$ в цвета $\Delta+1$ с помощью простого жадный алгоритм : Выберите вершину $v_n$ и перечислите вершин $G$ как $v_1,v_2,\ldots,v_n$, так что если $i

Это, безусловно, верно для $v_1$. За 1 9 долларов0003

После того, как $v_1,\ldots,v_{n-1}$ были раскрашены, все соседи $v_n$ покрашены. были окрашены в цвета $1,2,\ldots,\Delta$, поэтому раскрасьте $\Delta+1$ может использоваться для окрашивания $v_n$. $\qed$

Обратите внимание, что если $\d(v_n)

Следствие 5.8.11. Если $G$ нерегулярно, то $\chi\le\Delta$. $\qed$

Существуют графы, для которых $\chi=\Delta+1$: любой цикл нечетной длины имеет $\Delta=2$ и $\chi=3$, а $K_n$ имеет $\Delta=n-1$ и $\чи=n$. Конечно, это обычные графики. Оказывается, это единственные примеры, т. е. если $G$ не является нечетным циклом или полным графом, то $\chi(G)\le\Delta(G)$.

Теорема 5.8.12. (теорема Брукса) Если $G$ — граф, отличный от $K_n$ или $C_{2n+1}$, $\chi\le\Delta$. $\qed$

Жадный алгоритм не всегда раскрашивает граф наименьшее возможное количество цветов. Рисунок 5.8.2 показывает график с хроматическим номером 3, но жадный алгоритм использует 4 цвета, если вершины упорядочены, как показано.

Рисунок 5.8.2. Жадная раскраска слева и наилучшая раскраска справа.

В общем случае вычислить $\chi(G)$ сложно, т. е. требуется большой объем вычислений, но есть простой алгоритм построения графа окраска не быстрая. Предположим, что $v$ и $w$ несмежны. вершины в $G$. Обозначим через $G+\{v,w\}=G+e$ граф, образованный добавлением ребро $e=\{v,w\}$ в $G$. Обозначим через $G/e$ граф, в котором $v$ и $w$ являются «идентифицированными», то есть $v$ и $w$ заменяются одним вершина $x$, смежная со всеми соседями $v$ и $w$. (Но учтите, что мы не вводите кратные ребра: если $u$ смежно и с $v$, и с $w$ в $G$, будет одно ребро от $x$ до $u$ в $G/e$.)

Рассмотрим правильную раскраску $G$, в которой $v$ и $w$ — разные цвета; то это также правильная раскраска $G+e$. Кроме того, любой правильная раскраска $G+e$ — это правильная раскраска $G$, в которой $v$ и $w$ имеют разные цвета. Таким образом, раскраска $G+e$ с наименьшим возможным количеством цветов есть наилучшая раскраска $G$, в которой $v$ и $w$ имеют разные цвета, то есть $\chi(G+e)$ — это наименьшее количество цветов, необходимое для раскрашивания $G$ так, чтобы $v$ и $w$ были разного цвета.

Если $G$ раскрашена правильно, а $v$ и $w$ одного цвета, то это дает правильную раскраску $G/e$, раскрашивая $x$ в $G/e$ с помощью тот же цвет, что и для $v$ и $w$ в $G$. Кроме того, если $G/e$ правильно окрашены, это дает правильную раскраску $G$, в которой $v$ и $w$ имеют того же цвета, а именно цвета $x$ в $G/e$. Таким образом, $\chi(G/e)$ это наименьшее количество цветов, необходимое для правильного окрашивания $G$ так, чтобы $v$ и $w$ одного цвета.

Итогом этих наблюдений является то, что $\ds\chi(G)=\min(\chi(G+e),\chi(G/e))$. Этот алгоритм можно применить рекурсивно, то есть если $G_1=G+e$ и $G_2=G/e$, то $\ds\chi(G_1)=\min(\chi(G_1+e),\chi(G_1/e))$ и $\ds\chi(G_2)=\min(\chi(G_2+e),\chi(G_2/e))$, где конечно ребро $e$ отличается на каждом графике. Продолжая таким образом, мы можем в конечном итоге вычислить $\chi(G)$ при условии, что в конечном итоге мы получим графы, которые «просто» раскрасить. Грубо говоря, поскольку $G/e$ имеет меньше вершин, а $G+e$ имеет больше ребер, мы должны в конце концов закончить построить полный граф по всем ветвям вычисление. Всякий раз, когда мы встречаем полный граф $K_m$, он имеет хроматическое число $m$, поэтому никаких дальнейших вычислений вдоль соответствующую ветку. Давайте сделаем это более точным.

Теорема 5.8.13 Приведенный выше алгоритм правильно вычисляет хроматическое число в конечное количество времени.

Доказательство. Предположим, что граф $G$ имеет $n$ вершин и $m$ ребер. Количество пар несмежных вершин равно $\na(G)={n\choose 2}-m$. Доказательство по индукции по $\na$.

Если $\na(G)=0$, то $G$ — полный граф и алгоритм немедленно прекращается.

Теперь заметим, что $\na(G+e)

Теперь, если $\na(G)>0$, $G$ не является полным графом, поэтому существуют несмежные вершины $v$ и $w$. По индукционному предположению алгоритм правильно вычисляет $\chi(G+e)$ и $\chi(G/e)$ и, наконец, вычисляет $\chi(G)$ из них за один дополнительный шаг. $\qed$

Хотя этот алгоритм очень неэффективен, он достаточно быстро, чтобы его можно было использовать на небольших графах с помощью компьютер.

Пример 5.8.14 Проиллюстрируем очень простым графиком:

Хроматическое число графика вверху равно $\мин(3,4)=3$. (Конечно, это довольно легко увидеть непосредственно.) $\квадрат$

Пример 5.8.1 Предположим, что $G$ имеет $n$ вершин и хроматическое число $к$. Докажите, что $G$ имеет не менее $k\choose2$ ребер.

Пример 5. 8.2 Найдите хроматическое число приведенного ниже графика, используя алгоритм в этом разделе. Нарисуйте все графы $G+e$ и $G/e$ сгенерированный алгоритмом в виде «древовидной структуры» с полным графики внизу, обозначьте каждый полный график его хроматическим число, затем распространите значения до исходного графика.

Пример 5.8.3 Покажите, что $\chi(G-v)$ есть либо $\chi(G)$, либо $\хи(G)-1$.

Пример 5.8.4 Докажите теорему 5.8.10. не предполагая каких-либо конкретных свойства порядка $v_1,\ldots,v_n$.

Пример 5.8.5 Докажите теорему 5.8.12 следующим образом. По следствию 5.8.11 нам нужно рассматривать только регулярные графики. Регулярные графы степени 2 просты, поэтому мы рассматриваем только регулярные графы степени не ниже 3.

Если $G$ не является 2-связным, покажите, что блоки $G$ могут быть окрашены с цветами $\Delta(G)$, и тогда раскраски можно изменить немного так, чтобы они вместе давали правильную окраску $G$.

Если $G$ 2-связен, покажите, что существуют вершины $u$, $v$, $w$ такие что $u$ смежно и с $v$, и с $w$, $v$ и $w$ не смежны. смежно, а $G-v-w$ связно. Учитывая такие вершины, цвет $v$ и $w$ с цветом 1, затем раскрасьте оставшиеся вершины жадным алгоритмом, подобным к этому в теорема \xrefnexternal{thm:почти ручьи}{cgt.pdf}, где $u$ играет роль $v_n$.

Чтобы показать существование $u$, $v$, $w$, как требуется, пусть $x$ будет вершина, не смежная со всеми остальными вершинами. Если $G-x$ 2-связен, пусть $v=x$, пусть $w$ находится на расстоянии 2 от $v$ (обоснуйте это), и пусть путь длины 2 равен $v,u,w$. Воспользуйтесь теоремой 5.7.4. чтобы показать, что $u$, $v$, $w$ обладают требуемыми свойствами.

Если $G-x$ не является 2-связным, пусть $u=x$ и пусть $v$ и $w$ равны (тщательно выбранные) вершины в двух разных концевых блоках $G-x$. Показывать что $u$, $v$, $w$ обладают требуемыми свойствами.

Брукс доказал теорему в 1941 году; это более простое доказательство связано с Ловаш, 1975 год.

геометрия — Если плоскость разделена $n$ линиями, то образовавшиеся области можно раскрасить только двумя цветами.

$\begingroup$

Я самостоятельно изучаю дискретную математику, и есть следующее упражнение. (на португальском)

Плоскость разделена множеством линий. Покажите, что можно раскрасить области, образованные только двумя цветами, так что никакие два соседних области имеют один и тот же цвет. 9{2} + n + 2}{2}$ регионов.
Следующее упражнение:
Покажите, что если провести на плоскости те же линии, что и в задаче $4$, то можно раскрасить области, образованные только двумя цветами, так, чтобы никакие две соседние области не были одного цвета.
Доказательство: С нулевыми линиями вы, очевидно, можете это сделать; на самом деле, одного цвета было бы достаточно. Если вы можете успешно $2$-раскрасьте плоскость с помощью $k$ линий, когда вы добавите $(k + 1)$st строку, поменяйте местами цвета всех областей на одной стороне линии . Это обеспечит $2$-раскраску конфигурации с $k + 1$ строками. (На самом деле, для этой задачи нет необходимости в том, чтобы линии находились в общем положении: некоторые из них могут быть параллельны, а несколько прямых могут проходить через точку, и доказательство будет продолжать работать.)
Я нарисовал , и я убедился, но я этого не понял. Я чувствую себя глупо, но я не смог понять доказательство без рисунка.
Буду признателен за помощь.
геометрия
дискретная математика
индукция
$\endgroup$
$\begingroup$
Я попытаюсь объяснить найденное вами доказательство вместо того, чтобы приводить еще одно.
Доказательство на самом деле по индукции. Вы начинаете с одной линии и двух областей: одной черной и одной белой. Мы хотим показать, что если мы уже нарисовали $k$ линий и закрасили все области так, что никакие две соседние области не имеют одного цвета, то мы можем добавить любую новую $(k+1)$-ю линию и перекрасить некоторые области (новые созданные и старые) такие, что выполняется свойство: никакие две соседние области не имеют одного и того же цвета.
Нарисуйте новую линию и пока НЕ меняйте цвета. Рассмотрим обе стороны новой линии. Никакие две области на одной стороне новой линейки не окрашены в один цвет! Это связано с тем, что вы не меняли цвета, и любые две области на одной стороне могут иметь общую только часть линии, которая была у них общей до того, как вы нарисовали новую линию. Более того, если вы инвертируете цвета всех регионов по одну сторону от новой линии, то это свойство для них все равно сохранится (черные станут белыми, а белые — черными).
Когда вы рисуете новую линию, вы создаете новые регионы, разделяя некоторые регионы на две части. Эти и только эти вновь созданные смежные области будут иметь одинаковый цвет. Но как только вы инвертируете цвета всех регионов на одной стороне, вы получите то, что вам нужно. Все соседние регионы с обеих сторон по-прежнему окрашены в разные цвета, и теперь вновь созданные смежные регионы (которые имеют одну и ту же сторону, которая является частью новой линии) также имеют противоположные цвета, потому что один из них стал инвертированным.
$\endgroup$
$\begingroup$
Для каждой нарисованной линии выберите ненулевую аффинную (линейную плюс константу) функцию со значениями в $\mathbf R$, которая обращается в нуль на линии. Затем раскрасьте точки $P$ не на одной из прямых по знаку произведения всех этих функций в $P$.
Аналогичным образом можно заменить прямые на любые кривые, которые можно определить как нули непрерывной функции, и получить более общий результат.
$\endgroup$
$\begingroup$
Допустим, у вас уже есть плоскость с N линиями, которую можно раскрасить в 2 цвета. Затем нарисуйте еще одну линию. Несмотря на то, что эта линия может пересекать области разных цветов, для любой точки этой линии вновь созданные области с обеих сторон всегда будут одного цвета.
Затем, чтобы сделать эту новую карту двухцветной, выберите одну сторону новой линии и поменяйте местами все цвета в этой половине плоскости. Если два цвета были зеленым и красным, то весь красный станет зеленым, а весь зеленый станет синим. Для всех старых граничных точек (точка и граничная линия) на любой половине плоскости обе стороны (которые вначале были двух разных цветов) по-прежнему будут иметь два разных цвета, просто перевернутые.
Во вновь созданной линии, поскольку была перевернута только одна сторона линии, а все части линии изначально имели одинаковый цвет с обеих сторон, все части линии теперь имеют разные цвета с каждой стороны.
Итак, плоскость с добавленной линией по-прежнему раскрашивается в 2 цвета. Это означает, что если любая плоскость с N линиями раскрашивается в 2 цвета, то и плоскость с N+1 линиями тоже. Теперь заметьте, что пустую плоскость можно раскрасить в 2 цвета (хотя для этого нужен только 1 из 2 цветов). Итак, плоскость с любым количеством линий раскрашивается в 2 цвета.
$\endgroup$
$\begingroup$
Для удобства сделайте это на сфере. Тогда ваши большие круги определяют 4-регулярный вложенный граф. Теперь создайте двойной граф Пуанкаре, который имеет вершину для каждой области и ребро, когда две области имеют общее ребро исходного графа. Двойственный имеет цикловую основу, состоящую из 4-циклов, и, следовательно, не имеет нечетных циклов. Другими словами, он двусторонний. Это, я думаю, аргумент с точки зрения планарного графа.
Обновление: Мариано указывает, что я предполагаю, что мои большие круги таковы, что все пересечения простые. Если нет, то мы можем получить вершины степени больше 4 в прямом и вершины степени 2 в двойственном. Тем не менее, степени вершин простого цикла по-прежнему четные, поэтому тот же аргумент применим для исключения нечетных циклов в двойственном цикле.
Еще одно интересное доказательство, которое (как мне сказали) принадлежит Лу Кауфману, заключается в следующем: «разрешить» пересечения, заменив X на $\cup$ над $\cap$. Если вы сделаете это со всеми пересечениями, вы получите кучу вложенных кругов, которые, очевидно, обладают нужным вам свойством. Теперь отмените процесс.
$\endgroup$
6
$\begingroup$
Существует относительно простое неиндуктивное доказательство. Обозначим множество из $n$ строк через $S$. Возьмем некоторую область $R$ и выберем точку $A$ внутри. Мы зафиксируем их до конца доказательства. Затем для любой области $Q$ выберем внутри нее точку $B$ так, чтобы прямая $AB$ не пересекалась ни с какими двумя прямыми из $S$.
Если число пересечений отрезка $[AB]$ с линиями $S$ нечетное, то область $Q$ окрашивается в белый цвет, иначе (четное) — окрашивается в черный цвет. Например, область $R$ будет явно окрашена в черный цвет.
Осталось доказать
Если выбрать любую другую точку $B_1$ с теми же свойствами в той же области $Q$, то четность числа пересечений будет такой же для отрезка $[AB_1]$ как это было для $[AB]$
Если две области соседние, то их цвета различны
$\endgroup$
$\begingroup$
Это легко решить по индукции.