Ажурные косы | HAIR FRESH

Ажурные косы — это новое поколение косичек, которые с каждым днем набирают огромную популярность. Красота французских кос подкупает множеством вариаций плетения.

Мода никогда не стоит на месте, и в этом сезоне ажурные косы получают новый виток популярности. По сути, все ажурные косички выполняются на базе техники «французская коса», и сегодня мы обсудим, как создать ажурную косу самостоятельно, в домашних условиях.

Ажурные косички бывают разными, как и техника плетения. Ажурные косички идеально подходят для праздника, это отличная укладка для любого торжества. Конечно, многие из нас, частенько пренебрегают косами, в силу тонкостей плетения, а также редких волос.

Даже если у вас тонкие волосы, ажурные косы помогут создать идеальную укладку для особенного дня в вашей жизни. Впрочем, эта формулировка не верна, ажурные косы просто созданы для тонких волос! Ведь первое, что бросается в глаза при такой прическе – объем волос! Вот несколько простых вариантов, которые вы можете создать самостоятельно или же с помощью подруг.

Французская коса наоборот

Сегодня модно создавать французские косички, используя необычные техники плетения. В нашем случае речь идет о французской перевернутой косе. Для того, чтобы создать ажурную прическу, нанесите мусс с матовым эффектом и подсушите волосы.

Это позволит волосам приобрести особенную текстуру. Вслед за этим определитесь с тем, какой будет ваша коса: боковой, посередине головы, а может быть коса-ободок?

Плести косу начинаем обычным плетением в три пряди, постепенно присоединяя боковые прядки, техника плетения – колосок (французская коса).

Однако здесь есть свой нюанс – прядки должны проходить не поверх косы, а совсем наоборот – снизу.

То есть фактически вы заплетаете косу наоборот. Когда косичка готова, возьмите расческу с острым концом и аккуратно подтяните пряди, создавая фигурный эффект.

Закрепите прическу лаком для волос, она готова. В результате вы получаете очаровательную объемную косу, которая выглядит просто потрясающе.

Пучок с косой

Сегодня многие голливудские знаменитости предпочитают создавать косички-пучки.

В этом случае стилист чаще всего использует технику простой косы в три пряди.

Однако, чтобы косичка получилась ажурной, важно слегка вытягивать пряди, постепенно вплетая их в косу.

Когда косичка готова, ее закрепляют шпильками в пучок и формируют область челки. Такую укладку отлично дополнят небольшие завитки, которые могут располагаться в хаотичном порядке.

Рыбий хвост

Еще одно плетение, которое просто обожают современные девушки – косы рыбий хвост.

Так как сама по себе косичка «рыбий хвост» требует особенного внимания во время сборки (волосы должны максимально плотно вплетаться в косу), чтобы создать ажурный эффект и эффект дополнительного объема, заплетать косичку рекомендуется на локоны.

Для начала расчешите волосы и нанесите на них мусс для объема, а затем с помощью плойки создайте локоны. Перед тем, как собрать косичку, начешите волосы в области затылка, чтобы визуально приподнять волосы и добавить прическе объема.

Затем начинайте собирать косичку. В этом сезоне стилисты рекомендуют собирать косы на бок, начиная плетение чуть ниже ушей. При этом стоит помнить, что собирать косичку следует, плотно притягивая пряди. Для создания косы рыбий хвост разделите волосы на две пряди.

Далее возьмите небольшую прядь волос с одной части и присоедините ее к другой части волос. О том, как создать плетение «рыбий хвост» мы говорили здесь.

Коса на челке

Ажурные косички можно создать и на челке. В частности, существует очень простое плетение, которое можно без особенных усилий создать и в домашних условиях.

Начните плетение косы колосок, возьмите три небольшие пряди волос у челки, а затем постепенно вплетайте волосы в косу, присоединяя боковые пряди волос.

При этом с одной стороны косички понемногу вытягивайте прядки, разделяя их на 3-и, 4-ре пряди волос. Продолжаем плетение, пока волосы на челке будут полностью вплетены. Такой же техникой плетения кос можно пользоваться в случае, если вы создаете круговую косичку-ободок.

Кстати, об этом. Ажурные косы-ободки отлично смотрятся в паре с яркими, красочными атласными лентами. Это образ, который можно создать на свадьбу, выпускной и пр.

Для того, чтобы создать косичку с лентой, присоедините саму ленту к основанию косы. Сделать это можно с помощью фиксатора или самостоятельно закрепив ленту на прядке (узлом).

Дракончик

Сегодня многие стилисты рекомендуют создавать ажурные косы в стиле «дракончик».

Эта прическа отлично подойдет детям, ведь выглядит она очень красиво и мило.

Заплетать косу-дракончик модно на две косички.

В этом случае используется плетение колосок, а сама коса начинается с области челки.

Чтобы прическа получила ажурную форму, аккуратно подтяните прядки волос и закрепите полученный результат спреем для фиксации волос.

Источник статьи: Hair-Fresh

 

 

Как вам статья?

Арифметика кос

Арифметика кос

• О
• Статистика
• Номер ory
• Java
• Data Structures
• Краеугольные камни
• Исчисление

В контексте причесок , браслеты дружбы или даже парашютные шнуры — большинству будет знакомо понятие косички.

Как видно на изображениях выше, каждая коса начинается с некоторого количества прядей, которые каким-то образом многократно перекрещиваются друг под другом или над ним. Обратите внимание, что обычно мы не допускаем, чтобы пряди косы «выворачивались».

Мы можем представить отдельные пересечения косы с помощью диаграммы косы, как показано ниже. Обратите внимание, что на приведенной диаграмме описывается коса, похожая на косу из волос (но длиннее) выше.

Конечно, другие косы будут иметь другое количество прядей и/или другую последовательность пересечений.

Некоторые могут даже включать последовательности пересечений, которые даже не повторяются, например, показанный ниже:

Черпая вдохновение из косичек в реальном мире, «дергая» пряди в том или ином направлении — даже если возникают новые пересечения (пока мы не позволяем одной пряди проходить через другую) — может привести к разные представления о том, что по сути является одной и той же косой. В качестве примера рассмотрим следующие две диаграммы, которые на самом деле представляют одну и ту же косу.

Хотя две приведенные выше схемы плетения представляют собой одну и ту же плетенку, левая, безусловно, кажется «более простой» в некотором отношении. В связи с этим возникает вопрос: « Как упростить данную диаграмму кос? » Запомните этот вопрос — мы вернемся к нему чуть позже.

По общему признанию, рисование схем плетения, подобных показанным ранее, особенно если они не полностью упрощены, может быть утомительным. Однако есть гораздо более простой способ изобразить косы!

С этой целью заметьте, что если мы «дергаем» только в нужных местах, мы всегда можем покачать любой конкретный перекресток немного влево или вправо, по желанию. Таким образом, мы можем расположить любую косу (во всяком случае, с конечным числом пересечений) так, чтобы никакие два пересечения не происходили одновременно, когда мы сканируем косу слева направо.

В качестве примера рассмотрим представленную ранее схему плетения из 5 прядей, которая снова показана ниже слева. Цифры и вертикальные линии были добавлены, чтобы упростить определение положения пересечений.

На приведенной ниже диаграмме слева несколько пересечений иногда происходят одновременно между последовательными парами вертикальных линий. Например, между первой парой вертикальных линий перекрещиваются нити в позициях $1$ и $2$ (красная и зеленая), а нити в позициях $3$ и $4$ перекрещиваются (синяя и оранжевая). Точно так же между второй парой вертикальных линий нити в позициях $1$ и $2$ снова перекрещиваются (зеленая и красная), а нити в позициях $4$ и $5$ перекрещиваются (синяя и черная).

Однако, немного потянув за пряди, мы можем обеспечить только одно пересечение за раз, когда мы движемся слева направо вдоль косы. Обратите внимание, как на диаграмме справа начальное красно-зеленое пересечение немного смещено влево, а начальное сине-оранжевое пересечение немного сдвинуто вправо. Таким образом, пересечение красного/зеленого теперь происходит первым, а пересечение синего/оранжевого – вторым.

В самом деле, после того, как все было «перемешано» таким образом, то, что мы видим, происходит между парами последовательных строк, сводится к нескольким простым возможностям для нитей по 5$ (конечно, их было бы больше, если бы было задействовано больше нитей):

Важно отметить, что если у нас есть имена для этих возможностей (выше мы использовали от $a$ до $h$), то мы можем описать рассматриваемую косу простой последовательностью букв. Так, например, используя приведенное выше, мы могли бы идентифицировать косу, которую мы обсуждали, с помощью следующей последовательности букв (также известной как «слово»): $$aeahchchedh$$

Хотя это может помочь уменьшить утомительное описание плетения от рисования сложной картинки до простого написания последовательности букв — в вышеприведенном скрыто еще большее откровение. Обратите внимание, что это предлагает естественный способ соединить две косы вместе, чтобы получить новую (более длинную) косу — через конкатенация

!

Рассмотрим две маленькие косы ниже, которые объединяются путем соединения второй косы с первой, чтобы сформировать более длинную косу. Обратите внимание, мы будем использовать оператор «$*$» для обозначения действия конкатенации:

Следует отметить, что для двух косичек с одинаковым количеством прядей мы всегда можем соединить их таким образом, чтобы получить еще одну косу (опять же с тем же числом прядей).

В общем, когда две вещи одного и того же «типа» (например, две косы на $n$ нитях) объединяются с помощью какой-либо операции (например, конкатенации) и результат всегда одного и того же типа, мы говорим «вещи» из этот тип под связанной операцией закрыл (или, что то же самое, что они удовлетворяют свойству закрытия в отношении этой операции). Чтобы понять, почему мы используем именно эти слова для описания этой ситуации, рассмотрим следующее: Предположим, вы живете в мире LEGO.

Вы и все, что вас окружает, сделано из кубиков Lego. Если объединить (разобрав и соединив) любые две вещи в мире LEGO, результат все равно будет состоять из кубиков Lego. Однако, как бы вы ни старались, вы не сможете объединить две вещи, сделанные из кубиков Lego, и получить, например, скульптуру Play-Doh. Таким образом, пластилиновые скульптуры «недоступны» для вас — они «закрыты» от вас.

Замыкание станет для нас очень важным позже, но просто упомяну пару конкретных примеров, чтобы закрепить идею: Обратите внимание, что четные целые числа являются замкнутыми относительно сложения, а нечетные целые числа — нет. Точно так же целые числа замкнуты относительно умножения, но не относительно деления.

Возвращаясь к косам — обратите внимание, что обозначение результата объединения кос $B_1$ и $B_2$ с помощью $B_1 * B_2$ неявно предполагает, что эта операция конкатенации ведет себя аналогично умножению действительных чисел. В конце концов, использование звездочки «*» является частым способом обозначения продукта (особенно в программировании).

Давайте задумаемся об этом на мгновение — что именно мы подразумеваем под «поведением, подобным умножению действительных чисел»? Действительные числа, безусловно, замкнуты при умножении, но ведь мы должны иметь в виду нечто большее! Размышляя о различных свойствах, которыми, как мы знаем, обладает умножение действительных чисел — мы надеемся, что косы, подвергающиеся конкатенации, также будут обладать ими, — мы могли бы счесть многообещающим задать следующие вопросы с этой целью:

• Ассоциативна ли конкатенация кос?
  Напомним, это, безусловно, свойство умножения действительных чисел: $(ab)c = a(bc)$

• Идентификационная оплетка есть?
  Другими словами, существует ли что-то, что действует как действительное число $1$ в отношении умножения, в том смысле, что для любого действительного числа $x$ мы имеем $x \cdot 1 = 1 \cdot x = x$? (т. е. какое-то специальное значение, на которое при умножении на него другого значения (или наоборот) сохраняется «идентичность» этого другого значения)
• 9{-1} \cdot x$ оба равны мультипликативному тождеству $1$.

Рассмотрим каждый из них по очереди. Для удобства, для второго и третьего вопросов, мы предположим, что количество задействованных нитей равно $4$, но обобщения на другое количество нитей должны быть естественными и (надеюсь) очевидными.

---

В: Является ли конкатенация кос ассоциативной?

Другими словами, для любых трех кос $B_1$, $B_2$ и $B_3$ $(B_1 * B_2) * B_3$ и $B_1 * (B_2 * B_3)$ всегда являются одной и той же косой?

Абсолютно! Это непосредственный результат того, как работает конкатенация. Нам даже не нужно рассматривать какие-то конкретные косы, чтобы увидеть это. Просто пусть желтые, розовые и зеленые прямоугольники ниже представляют произвольные косы $B_1$, $B_2$ и $B_3$ соответственно.

---

В: Есть ли идентификационная оплетка?

Опять же, напомним, что мультипликативное тождество для действительных чисел — это значение $1$, поскольку мы можем умножить любое действительное значение на $1$ (или наоборот) и оставить его без изменений. Обратите внимание, что это работает в обоих направлениях, то есть для любого действительного значения $x$ верно, что $x \cdot 1 = 1 \cdot x = x$.

Аналогично, аддитивной идентичностью для действительных чисел является значение $0$, поскольку мы можем добавить $0$ к любому вещественному значению $x$ и оставить его без изменений. (Опять же, изменение порядка с $x+0$ на $0+x$ не имеет значения — в обоих случаях получается $x$.)

Если мы ищем тождественную косу относительно конкатенации, то мы ищем косу, которая может быть соединена с любой другой косой (с любой стороны), и оставляем ее последовательность пересечений неизменной.

Рассмотрим эту единственную косу из некоторого количества нитей, $I$, в которой вообще нет пересечений!

Как ясно видно из приведенного ниже, объединение такой косы $I$ с любой другой косой $B$ (конечно, с тем же числом нитей) оставляет $B$ практически без изменений (т.е. нити могут быть немного длиннее, но все переходы целы, а это главное).

Легко показать, что верно и обратное (т. е. $I * B = B$ для любой косы $B$).

Таким образом, коса $I$ из $n$ нитей без пересечений служит тождеством для конкатенации кос из $n$ нитей. 9{-1} * B = I$     (при условии, что $I$ обозначает тождество косы)

Помните простые косы, которые мы ранее использовали для обозначения косы из $5$ нитей с помощью последовательности букв? Вот аналогичный набор косичек из 4$ прядей:

Независимо от количества задействованных нитей, обратите внимание, что они всегда встречаются парами, где пересекаются одни и те же две нити: одна с одной нитью наверху, а другая с другой нитью наверху. Действительно, каждая из этих пар является обратная пара , как следует из названий, данных шести простым косам непосредственно выше. После соединения каждой такой пары требуется всего пара рывков за нити, чтобы упростить результат до тождественной косы $I$ (на $n$ нитей), как показано ниже для одной такой пары:

Чтобы пояснить принятое выше соглашение об именах, заметим, что для любого $i = 1,2,3,\ldots$ мы обозначим через $x_i$ косу, в которой пряди находятся в позициях $i$ и $i+1$. {-1}$, где нить в позиции $i$ идет «под» нитью в позиции $i+1$. Для упрощения мы называем множество всех таких $x_i$ и их инверсий элементарных косичек из $n$ нитей.

Вооружившись теперь этими обратными парами элементарных кос, мы можем строить обратные пары для более сложных кос.

Мы можем думать об отдельных пересечениях как о действиях, предпринимаемых на нитях, которые изменяют их состояние, подобно тому, как отдельные действия по надеванию носков, обуви и резиновых сапог (которые надеваются поверх обуви) изменяют состояние ваших ног. Обратное действие к некоторой их комбинации можно найти, «отменив» каждое отдельное действие, но в обратном порядке. 9{-1}$ в обратном порядке.

Ниже приведены диаграммы кос для конкатенации и упрощения только что описанного примера. Обратите внимание, что, учитывая, насколько далеко заходит это сходство между конкатенацией кос и умножением действительных чисел, мы пойдем дальше и примем некоторые дополнительные обозначения, часто используемые для произведений.

В частности, подобно тому, как мы часто сокращаем $a \cdot b$ с помощью $ab$ при работе с произведениями действительных чисел $a$ и $b$, мы часто опускаем оператор «$*$» между переменными, представляющими косы (элементарные или иные), оставляя их конкатенацию предполагаемой их смежностью. Теперь мы также можем начать называть такие конкатенации «плетеными изделиями» или просто «продуктами», когда контекст ясен.

Рассматривая приведенное ниже упрощенное произведение кос, обратите внимание, как мы используем преимущества ассоциативности конкатенации кос для оценки произведения двух самых центральных элементарных кос на каждом шаге, которое, будучи обратной парой, приводит к тождеству коса $I$, которую затем можно удалить, поскольку она не имеет никакого эффекта (кроме последней $I$, конечно).

Конечно, мы могли бы представить распутывание первоначальной конкатенации, визуализируя перетягивание некоторых нитей вверх или вниз в ключевые моменты, чтобы уменьшить количество пересечений. Однако преимущество использования свойств инверсий и тождеств для перехода от одного шага к другому заключается в том, что нам больше не нужны картинки (которые изначально было обременительно рисовать) — мы можем перейти к упрощению вещей в более простой форме. полностью алгебраическим способом, как показано далее. 9{-1}\\ & = & я \end{массив}$$

По правде говоря, вышеприведенное немного многословно — показаны все промежуточные шаги каждый раз, когда обратная пара создает тождественную косу $I$, которая затем объединяется с тем, что идет дальше, и остается только то, что идет дальше.

На практике эта комбинация шагов настолько распространена, что мы часто опускаем этот уровень детализации при описании шагов, предпринятых для упрощения плетения, — записывая только что-то похожее на приведенное ниже (которое, как вы заметите, отражает «слова плетения», данные с помощью картинки выше): 9{-1}\\ & = & я \end{массив}$$

Для этого есть приоритет. Рассмотрим шаги, предпринятые для упрощения дроби $\frac{ab}{b}$ (где $b \neq 0$), которые показаны ниже. (Помните, что $\frac{b}{b}$ равно значению $1$, мультипликативному «тождеству»): $$\frac{ab}{b} = a \cdot \frac{b}{b} = a \cdot 1 = a$$ Нечто подобное происходит каждый раз, когда в числителе и знаменателе дроби вычеркивается общий множитель, но мы часто пропускаем все эти детали, записывая только $$\frac{ab}{b} = a$$

---

Умножение кос и коммутативность

Вышеизложенное ясно показывает, что существует своего рода «мультипликативная арифметика», которую мы можем применить к косам, но мы должны быть осторожны, чтобы наша аналогия не зашла слишком далеко. Одно существенное различие между умножением косами и умножением числовых значений, с которым мы хорошо знакомы, состоит в том, что умножение кос, как правило, не является коммутативным.

То есть не всегда $B_1 B_2 = B_2 B_1$ для любых кос $B_1$ и $B_2$.

В качестве простого примера рассмотрим следующие две косы. Обратите внимание, что первый «продукт» справа нельзя упростить до второго. Например, нить, первоначально находившаяся в позиции $1$, оказывается в позиции $4$ в первом продукте, но не во втором.

Отсутствие общей коммутативности для плетеных изделий, безусловно, снижает легкость, с которой мы можем манипулировать плетенками, но, как однажды сказал Александр Грэм Белл: «Когда закрывается одна дверь, открывается другая».

Косы действительно обладают коммутативностью «дальних» элементарных кос. Другими словами, соседние элементарные косы $x_i$ и $x_j$ будут коммутировать, если они находятся достаточно далеко друг от друга и не содержат общего положения прядей. Заметив, что это происходит только тогда, когда $i$ и $j$ разнесены как минимум на две позиции, мы можем эквивалентно сказать для смежных элементарных кос $x_i$ и $x_j$: $$x_i x_j = x_j x_i \textrm{ когда } |i-j| \ge 2$$

Возможно, это будет легче понять на примере. Обратите внимание, что на приведенной ниже диаграмме мы можем изменить порядок розовых элементарных кос, не изменяя при этом всей косы. Однако, если мы изменим порядок желтых элементарных кос, общая коса будет другой косой.

---

Родственник Артина

Эмиль Артин

Названное в честь Эмиля Артина, одного из ведущих математиков двадцатого века, разработавшего теорию кос как ответвления области математики, известной как алгебраическая топология, соотношение Артина представляет собой последнюю часть головоломки при установлении странного арифметика кос.

Небольшим мысленным «подергиванием» нитей внизу легко убедиться, что это соотношение выполняется для элементарных кос $x_i$ и $x_{i+1}$, умноженных (т.е. соединенных) указанным образом .

Важно, однако, то, что это особое отношение плетения позволит нам теперь манипулировать косами полностью алгебраическим способом — при желании нам никогда не придется рисовать картинки, подобные приведенным выше.

$\displaystyle{{\large \textrm{Соотношение Артина}: x_i \, x_{i+1} \, x_i = x_{i+1} \, x_i \, x_{i+1}}}$

---

Собираем все вместе

Мы видели, что косы из $n$ нитей могут быть представлены алгебраическими выражениями/словами, состоящими из конкатенаций элементарных кос $x_1,x_2,x_3,\ldots,x_{n-1}$ и/или их обратных $x_1^ {-1},x_2^{-1},x_3^{-1},\ldots,x_{n-1}^{-1}$.

Однако эти выражения косы не уникальны для данной косы. Мы, конечно, можем показать, что два слова о косах представляют одну и ту же косу, рисуя изображения каждого из них и «дергая» пряди так и сяк, пока эти изображения не станут идентичными. Однако равенство двух слов-кос также можно показать, применяя алгебраические манипуляции к одному для получения другого в соответствии со следующими правилами:

Предположим, что $i$ и $j$ взяты из $1,2,\ldots,n-1$ соответственно, $B_i$ представляет собой произвольное слово косы, а $I$ представляет собой единичную косу без пересечений) 90$.

Для коммутативных $x_i$ и $x_j$ (т.е. «удаленных» элементарных кос $x_i$ и $x_j$, где $|i-j| \ge 2$) можно сказать даже больше! В частности, для всех целых чисел $p$ также должны применяться следующие правила упрощения:

Чтобы увидеть, как коммутативность играет роль в этих двух правилах, обратите внимание, что для установления первого (т. е. распределения показателей степени по произведениям) мы можем использовать коммутативность, чтобы собрать все выражения $x_i$ вместе, чтобы объединить их в одну степень, как показано в следующем примере (внимательно посмотрите между 3-м и 4-м выражениями): $$(x_i x_j)^2 = (x_i x_j)(x_i x_j) = x_i x_j x_i x_j = x_i x_i x_j x_j = x_i^2 x_j^2$$ Затем мы используем первое правило для доказательства второго правила (т. 2}$$

Будьте осторожны! Не используйте последние два правила, если $x_i$ и $x_j$ не могут коммутировать!

Путешествие по математической теории кос

Фильм разделен на четыре главы, каждая примерно по 15 минут. Вот краткое изложение содержания.

Первая содержит основные понятия: формализация кос и групповая структура на множестве кос. Приведено представление Артина о группе кос. Коса теперь описывается словом на наборе букв, образующих.

Во второй главе рассматривается проблема со словами: когда два слова обозначают одну и ту же косу? Для решения этой проблемы представлены два алгоритма: расчесывание косы Артина и редукция ручек.

В третьей главе представлены узлы и сопоставлены с косами. В заключительной части вводится многочлен Джонса: это мощный инвариант узла, который был определен через косы.

В последней главе косы описываются как танцы, то есть движения точек по диску. Группа Хильдена, подгруппа группы кос, определяется и связана с другим способом замыкания кос.

Здесь вы можете найти кадры из фильма и краткое содержание каждой главы. Дополнительную информацию можно найти на странице часто задаваемых вопросов.

• Глава 1
• Глава 2
• Глава 3
• Глава 4
• Каталожные номера

Глава 1. Структура группы

Косы повсюду в обычной жизни! В украшениях, парикмахерских и многих декоративных предметах используются плетеные узоры.

Косы изучаются и как математические объекты, поскольку их математическая структура очень богата и глубока.

Первое определение косы — это совокупность нитей между двумя параллельными дисками.

Косы считаются одинаковыми, если их можно деформировать друг в друга, не разрезая пряди и сохраняя фиксированными концы (изотопия плетения).

Два шнура можно соединить, чтобы получить новый. Эта операция называется композицией и придает групповую структуру набору кос с фиксированным числом прядей.

Элементарные косы — это косы, имеющие только одно пересечение. Любую косу можно рассматривать как композицию элементарных кос, и поэтому ее можно описать словом.

Группа кос может быть описана с помощью презентации Артина. Образующими являются элементарные косы. Отношения бывают двух видов: одно типично для групп кос, а другое является коммутативным отношением между дальними пересечениями.

Глава 2 — Задача со словами

Для описания косы мы можем использовать слово в генераторах, но два разных слова могут представлять одну и ту же косу.

Проблема определения того, представляют ли два слова один и тот же элемент группы, называется проблемой слов.

Для ее решения нужен алгоритм, то есть процедура, которой нужно следовать, чтобы получить ответ за конечное число шагов.

В произвольных группах задача со словами неразрешима, то есть не существует алгоритма для ее решения.

Однако проблема слов в группах кос разрешима. Первый алгоритм был предложен Артином в 19 в.30-х годов и называется расчесыванием кос.

Тем не менее, его сложность экспоненциальна размеру слов косы, что делает невозможным использование расчесывания на практике.

Известны различные другие алгоритмы для решения проблемы слов в группах кос. Самым быстрым (на данный момент) является алгоритм сокращения ручек Дехорного. Первая статья, описывающая его, была опубликована в 1997 году.

Глава 3 — Мир узлов

Как и косы, также узлы, замкнутые нити, очень распространенные предметы в повседневной жизни и они также представляют большой интерес для математиков!

Как и в случае с косами, два узла считаются одинаковыми, если их можно превратить друг в друга, не разрезая нити.

Некоторые узлы, такие как узел «восьмерка», являются такими же, как их зеркальное отражение (математики говорят, что они ахиральны), в то время как другие, такие как узел-трилистник, таковыми не являются.

Чтобы получить узел из косы, нам просто нужно связать концы пряди вместе.

И наоборот, каждый узел можно получить как закрытие косы. Первое доказательство принадлежит Александру: в 19 в.30-х годов он предложил алгоритм придания узлу формы замкнутой косы.

Когда две переплетенные косы дают одинаковый узел?

Для ответа введем операции сопряжения и стабилизации. Этих двух ходов достаточно, чтобы охарактеризовать косы, дающие один и тот же узел, что и гарантирует теорема Маркова. К сожалению, эта теорема не является конструктивной.

Способ различения узлов состоит в том, чтобы определить инварианты, то есть связать с каждым узлом объект в некоторой математической структуре так, чтобы эквивалентные узлы были связаны с одним и тем же объектом.

И наоборот, если два узла связаны с разными объектами, то они обязательно разные.

Одним из самых мощных инвариантов является многочлен Джонса, который впервые был определен в 1984 году через косы и их замыкание.

Его открытие открыло новый взгляд на теорию узлов и было настолько важным, что Джонс был награжден за него Филдсовской медалью.

Существует несколько способов вычисления многочлена Джонса, не требующих прохождения через косы. Один из них состоит в использовании скейн-соотношений для упрощения узлов.

Глава 4 — Хильдские танцы

Традицией многих стран немецкой культуры является танец майского дерева. Подобные танцы исполняются и в Южной Америке.

Танцоры двигаются вокруг шеста, держа в руках ленты и переплетая их различными способами.

Танцы можно формализовать как движение точек по диску. Отслеживая движения, мы можем получить косу.

Наоборот, с помощью косы мы можем превратить ее в танец.

Можно рассмотреть конкретные танцы, в которых танцоры выступают парами и держатся за руки. Их формализация дает подгруппу группы кос с четным числом нитей, называемую группой Хильдена.

Набор генераторов состоит из трех видов плетений, в которых пряди парные.

Еще один способ завязать узел на тесьме – использовать застежку-пластину.

Аналогично тому, что происходит с застежкой Александера, каждый узел может быть получен с помощью застежки косы.

Теорема Бирмана (1970-е) характеризует косы, дающие один и тот же узел за счет закрытия плат. Другими словами, она аналогична теореме Маркова, но относится к замыканию платформы.

Одним из разрешенных ходов является композиция с элементами Хильдена.

Наконец, мы представляем проблему принадлежности: можно ли решить, принадлежит ли данная коса подгруппе Хильдена или нет?

Решение содержится в препринте 2009 года. Мы не сообщаем об этом, а лишь отмечаем, что снова обнаружили алгоритмическую проблему.

Некоторые ссылки

• Эмиль Артин, Теория кос, Ann. математики. 48, 1947.
• Патрик Дехорной, Быстрый метод сравнения косичек, Adv. Мат. 125, 1997.
• Колин С. Адамс, Книга узлов: элементарное введение в математическую теорию узлов, 1994.
• Джоан С. Бирман, Косы, ссылки и группы классов отображения, 1974.