прямая сумма групп : Высшая алгебра
Правила форума
В этом разделе нельзя создавать новые темы.
Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».
Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.
Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.
Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.
| |||
26/03/13 |
| ||
| |||
03.2013, 14:59 | ИСН |
| |||
18/05/06 |
| |||
| ||||
| Joe Black |
| ||
26/03/13 |
| ||
| |||
03.2013, 15:06 | bot |
| |||
21/12/05 |
| |||
| ||||
| Joe Black |
| ||
26/03/13 |
| ||
| |||
03.2013, 15:31 | ИСН |
| |||
18/05/06 |
| |||
| ||||
| Joe Black |
| ||
26/03/13 |
| ||
| |||
| bot |
| |||
21/12/05 |
| |||
| ||||
03.2013, 17:11 | Joe Black |
| ||
26/03/13 |
| ||
| |||
03.2013, 12:14 | ИСН |
| |||
18/05/06 |
| |||
| ||||
| Показать сообщения за: Все сообщения1 день7 дней2 недели1 месяц3 месяца6 месяцев1 год Поле сортировки АвторВремя размещенияЗаголовокпо возрастаниюпо убыванию |
| Страница 1 из 1 | [ Сообщений: 10 ] |
Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы
Прямая сумма | это.
.. Что такое Прямая сумма?- Символ означает взятие прямой суммы; это также символ Земли в астрономии и астрологии и символ операции исключающее «или».
Прямая сумма — производный математический объект, создаваемый по определённым ниже правилам из базовых объектов. В качестве базовых чаще всего выступают векторные пространства или абелевы группы. Существует также обобщение данной конструкции для банаховых и гильбертовых пространств.
Содержание
|
Прямая сумма подпространств
Говорят, что линейное пространство есть прямая сумма своих подпространств :
если каждый вектор представляется в виде суммы
и притом единственным образом.
Комментарий
Последнее условие («единственным образом») весьма существенно, без него получается просто определение суммы подпространств (обозначается ). Из определения линейного пространства следует, что условие единственности разложения (*) для каждого вектора равносильно условию единственности разложения (*) только для нулевого вектора (для в сумме (*) все слагаемые ).
Критерии прямой суммы
- Каждый вектор раскладывается в сумму (*), причём (Если конечномерно)
- Любая система из ненулевых векторов, принадлежащих различным подпространствам, линейно независима.
- Пересечение каждого из подпространств с суммой остальных есть нулевое пространство (пространство, состоящее только из нулевого вектора).
- Если линейное пространство обладает базисом, то объединение базисов подпространств ) есть базис в .
- Каждый элемент гильбертова пространства может быть представлен в виде (*), причём если число подпространств бесконечно, то — сходящийся ряд.
- Пусть гильбертово пространство разлагается в прямую сумму , тогда сопряженное пространство также распадается в прямую сумму , причём и .
Примеры
- Трёхмерное линейное пространство является прямой суммой плоскости и любой прямой, не лежащей в этой плоскости, но пересекающей её, а также прямой суммой любых трёх попарно различных, не параллельных прямых. Трёхмерное линейное пространство является суммой двух несовпадающих плоскостей, но не является их прямой суммой, так как пересечение плоскостей дает прямую (нулевой вектор может быть представлен бесконечным числом способов: , где и — противоположные векторы на этой прямой).
- Пространство многочленов степени (от любого числа переменных) представимо в виде прямой суммы где — подпространство однородных многочленов степени . Если в определении убрать условие однородности, то сумма перестанет быть прямой.
Прямая сумма пространств
Понятие прямой суммы распространяется на случай, когда изначально не являются подпространствами какого-либо одного объемлющего линейного пространства.
Определим как декартово произведение и определим в нём операции линейного пространства с помощью формул
Тогда является линейным пространством, содержащим подпространства Согласно построению, каждый вектор однозначно представим в виде следовательно,
Прямая сумма абелевых групп
Говорят, что абелева группа есть прямая сумма своих подгрупп :
если каждый элемент представляется в виде суммы
и притом единственным образом. Условие единственности разложения (*) для каждого элемента равносильно условию единственности разложения (*) только для нулевого элемента .
Пусть — абелевы группы (с операцией ). Определим множество как декартово произведение и определим в нём групповую операцию с помощью формулы
Тогда является абелевой группой, содержащей подгруппы Это обозначается: Согласно построению, каждый элемент однозначно представим в виде (*).
Противоположным (обратным) элементом к является элемент Нейтральным (нулевым) элементом группы является элемент где — нейтральный элемент группы
Если группы конечные, то группа тоже конечная, и её порядок (число элементов) равно произведению порядков групп .
См. также
- Прямое произведение
- Тензорное произведение
- Прямая сумма представлений
Литература
- Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре, — М.: Наука, 1971.
- Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре, — М.: Наука, 1984.
- Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия, — М.: Наука, 1986.
- Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.
абстрактная алгебра — Запутанный характер прямой суммы для конечных абелевых групп
Содержание:
- Прямые произведения вообще.
- Прямые суммы вообще.
- Внутреннее прямое произведение (сумма) в целом.
- Взгляните на ваши примеры.
Пусть $\{G_i\}_{i\in I}$ — семейство групп.
Прямой продукт определяется как
$$\prod_{i\in I}G_i = \{f\colon I\to \bigcup_{i\in I}G_i\mid f(i)\in G_i,\ \forall i\in I\}$$
с умножением, определенным как $(f\cdot g)(i) = f(i)g(i)$. Когда $I$ конечное множество, элементы прямого произведения принято записывать в виде $n$-кортежей. Например, если $I=\{1,2\}$, то
$$G_1\times G_2 = \{ (g_1,g_2)\mid g_i\in G_i,\ i = 1,2\}$ $ и это относится к приведенному выше определению, поскольку упорядоченную пару $(g_1,g_2)$ можно рассматривать как функцию $$g\colon\{1,2\}\to G_1\cup G_2,\ g(1) = g_1,\, g(2) = g_2$$ и учитывая другую упорядоченную пару $(g’_1,g’_2)$ и соответствующую функцию $g’$, мы можем видеть, что упорядоченная пара $(g_1g_1′,g_2g_2′) $ соответствует функции $g\cdot g’$, так что все проверяется.
Даже в бесконечном случае мы обычно не записываем элементы прямого произведения в виде функций, мы пишем их так же, как записывали бы последовательности, т.
е. $(g_i)_{i\in I}$ и когда $I$ равно ясно, мы обычно опускаем его в обозначениях и просто пишем $(g_i)$. Мы бы написали умножение как $(g_i)\cdot (g’_i) = (g_ig_i’)$.
Прямое произведение естественным образом снабжено семейством проекционных гомоморфизмов $$\{\pi_j\colon\prod_{i\in I}G_i\to G_j\}_{j\in I}$$, определяемых $\pi_j(f ) = f(j)$ или $\pi_j((g_i)_{i\in I}) = g_j$.
Пусть $\{G_i\}_{i\in I}$ — семейство групп.
Прямая сумма определяется как
$$\bigoplus_{i\in I}G_i = \{f\colon I\to \bigcup_{i\in I}G_i\mid f(i)\in G_i,\ \forall i\in I,\ f(i)\neq e_i\ \text{только для конечного числа}\ i\in I\}$$
с умножением, определенным как $(f\cdot g)(i) = f(i)g(i)$. Как видите, определение очень похоже на определение прямого произведения, однако элементы прямой суммы нетривиальны только на конечном числе мест.
Сразу видно, что когда $I$ конечно, прямое произведение и прямая сумма совпадают, но в бесконечном случае прямая сумма является собственной подгруппой прямого произведения.
Условные обозначения такие же, как и для прямого произведения.
Прямая сумма естественным образом снабжена семейством гомоморфизмов включения $$\{\iota_j\colon G_j\to \bigoplus_{i\in I}G_i\}_{j\in I}$$, определяемых $\iota_j(x ) = (g_i)_{i\in I}$, где $g_i = e_i$ для $i\neq j$ и $g_j = x$. Таким образом, мы можем думать обо всех $G_j$ как о подгруппах прямой суммы. Мы будем использовать это позже, мы отождествим $G_j$ с его образом $\iota_j(G_j)$ и просто скажем, что $G_j$ является подгруппой $\bigoplus_{i\in I}G_i$, когда мы действительно имеем в виду, что $ \iota_j(G_j)$ — подгруппа в $\bigoplus_{i\in I}G_i$. Это обычное злоупотребление обозначениями, к которому со временем привыкаешь.
Теперь предположим, что все группы абелевы, и перейдем к аддитивным обозначениям. Учитывая $x\in\bigoplus_{i\in I}G_i$ и $x = (x_i)$, мы можем записать $x = \sum_{i\in I}\iota_i(x_i)$. Обратите внимание, что эта сумма корректно определена, даже когда $I$ бесконечно, потому что $\iota_i(x) = 0$ для всех, кроме конечного числа $i\in I$, так что то, что выглядит как бесконечная сумма, на самом деле является конечной.
Это ключевое различие между прямым произведением и прямой суммой. Об этом можно еще много говорить, но в данном случае это не принесет особой пользы. Вы узнаете об этом в свое время. А пока просто заметьте, что когда мы работаем с векторными пространствами, это похоже на запись вектора в виде линейной комбинации базисных векторов.
Когда у нас есть подгруппы $A,B\leq G$, их внутренняя сумма $A+B$ определена вами. Но позвольте мне вернуться к некоммутативному случаю и вместо внутренней суммы говорить о внутреннем произведении $AB$.
Вот в чем проблема, вообще говоря, $AB$ не является подгруппой в $G$. Причина проста, $(ab)(a’b’)$ может не быть элементом $AB$, потому что мы не знаем, что делать с $ba’$. Мы хотели бы написать $ba’$ в форме $a»b»$, и тогда мы бы имели $(ab)(a’b’) = (aa»)(b»b) \в АБ$. Таким образом, если $AB = BA$, то $AB$ является подгруппой в $G$. Верно и обратное: если $AB$ — подгруппа в $G$, то $AB = BA$ (вы можете это доказать?)
Итак, будем работать с предположением, что $AB = BA$ (заметим, что это тривиально верно в абелевом случае).
Следующий вопрос заключается в том, можем ли мы определить групповой гомоморфизм $AB\to A\times B$. Очевидным кандидатом будет $ab\mapsto (a,b)$, но правильно ли это определено? Оказывается, если предположить, что $A\cap B = \{e\}$, это так, потому что это дает нам, что $a_1b_1 = a_2b_2$ тогда и только тогда, когда $a_1 = a_2$ и $b_1 = b_2$ (вы можете это доказать? ?) и в этом случае $ab\mapsto (a,b)$ является групповым изоморфизмом (вы можете это доказать?)
Обратите внимание, что все эти соображения становятся тривиальными, если предположить, что $G$ абелева.
Однако мы можем обойти все это, рассматривая $A$ и $B$ не как подгруппы группы $G$, а как подгруппы группы $A\times B$ (или $A\oplus B$, что является то же самое) через включения, о которых я упоминал выше, т.е. $A \equiv A\times\{e\}$ и $B\equiv \{e\}\times B$. Теперь у нас есть $AB = BA$ и $A\cap B = \{e\}$ внутри $A\times B$, поэтому мы получаем, что $AB = A\times B$. Опять же, мы отождествляем $A$ с $A\times \{e\}$ и $B$ с $\{e\}\times B$.
Обратите внимание, что нам даже не обязательно иметь $A\cap B = \{e\}$ в исходной группе $G$, мы могли бы даже иметь $A = B$ и все равно получить $A\times A$ является внутренним произведением $A\times\{e\}$ и $\{e\}\times A$. Это важно заметить, учитывая ваши примеры.
Итак, что из ваших примеров?
Первый пример: $\mathbb Z_3\oplus \mathbb Z_5$. Здесь вы сделали именно то, что я описал выше, вы идентифицировали $\mathbb Z_3$ с соответствующей подгруппой $\mathbb Z_{15}$ и то же самое с $\mathbb Z_5$. Однако здесь следует отметить важную вещь, которую вы могли упустить: вы неявно используете тот факт, что $\mathbb Z_3\oplus \mathbb Z_5\cong \mathbb Z_{15}$, и это работает только потому, что $3$ и $5 $ являются относительно простыми. На самом деле то, что вы сделали, является замаскированным доказательством $\mathbb Z_3\oplus \mathbb Z_5\cong \mathbb Z_{15}$, потому что, когда $\mathbb Z_3$ и $\mathbb Z_5$ рассматриваются как подгруппы $ \mathbb Z_{15}$, они удовлетворяют $\mathbb Z_3\cap \mathbb Z_5 = \{0\}$, $\mathbb Z_3+\mathbb Z_5 = \mathbb Z_5+\mathbb Z_3 = \mathbb Z_{15}$ и, таким образом, $\mathbb Z_{15} \cong \mathbb Z_3\oplus \mathbb Z_5$ в соответствии с приведенным выше общим обсуждением.
Как вы сами видели, во втором примере он терпит неудачу, потому что $\mathbb Z_2\oplus\mathbb Z_2\not\cong \mathbb Z_4$ (и $\mathbb Z_2$, если уж на то пошло). Однако, когда вы делаете это правильно, это работает.
Пусть $A = B = \mathbb Z_2$ и отождествляет $A$ с подгруппой $A\oplus\{0\}\leq \mathbb Z_2\oplus \mathbb Z_2$ и $B$ с подгруппой $\{0\ }\oplus \mathbb Z_2\leq \mathbb Z_2\oplus \mathbb Z_2$. В явном виде $A$ отождествляется с $\{(0,0),(1,0)\}$, а $B$ отождествляется с $\{(0,0),(0,1)\}$. Обратите внимание, как в общем обсуждении у нас теперь есть $A\cap B = \{(0,0)\}$ (с учетом идентификации) и \begin{align}A+B &= \{(0,0) +(0,0), (1,0)+(0,0), (0,0)+(0,1), (1,0)+(0,1)\}\\ &= \{ (0,0), (1,0), (0,1), (1,1)\} = \mathbb Z_2\oplus \mathbb Z_2.\end{align}
Кроме того, что вы сами заметили, когда $A$ и $B$ не отождествляются с соответствующими подгруппами $\mathbb Z_2\oplus \mathbb Z_2$, а рассматриваются как подгруппы $\mathbb Z_2$, мы не $A\cap B = \{0\}$, а вместо этого $A + B = \mathbb Z_2 \not\cong \mathbb Z_2\oplus \mathbb Z_2$.
прямая сумма в nLab
Пропустить навигационные ссылки | Домашняя страница | Все страницы | Последние версии | Обсудить эту страницу |
Прямые суммы и слабые прямые произведенияКонтекст
Пределы и копределы
Пределы и копределы
1-категориальный
- лимит
и колимит
пределы и копределы по примеру
коммутативность пределов и копределов
малый лимит
отфильтрованный колимит
направленный колимит
- последовательный копредел
просеянный колимит
связанный предел, широкий откат
сохраненный лимит, отраженный лимит, созданный лимит
- Продукт
, Волокнистый продукт, Изменение базы, Побочный продукт, Откат, Выталкивание, Изменение собазы, Уравнитель, Уравнитель, присоединиться, встретиться, Терминальный объект, Исходный объект, Прямой продукт, Прямая сумма
конечный предел
- точный функтор
Кан расширение
- Удлинитель Йонеда
взвешенный предел
конец и муфта
оптоволоконный лимит
2-категорийный
2-предельный
вкладыш
Изоинсертер
Эквайр
инвертор
PIE-лимит
2-откат, объект запятой
(∞,1)-категориальный
(∞,1)-предел
(∞,1)-откат
- последовательность волокон
Модельно-категориальный
гомотопическое расширение Кана
гомотопический предел
гомотопический продукт
гомотопический эквалайзер
гомотопическое волокно
картографический конус
гомотопический обратный образ
гомотопическая тотализация
гомотопический конец
гомотопический копредел
гомотопический побочный продукт
гомотопический соэквалайзер
гомотопическое коволокно
картографический кокон
гомотопический выталкиватель
гомотопическая реализация
гомотопический коэнд
Изменить эту боковую панель
- Идея
- Терминология
- Определения
- Прямая сумма
- Слабое прямое произведение
- Примеры
- Внутренние прямые суммы
- Родственные понятия
Идея
Понятие прямой суммы или слабого прямого произведения — это понятие из алгебры, которое фактически имеет смысл в любой категории CC с нулевыми морфизмами (то есть в любой категории, обогащенной замкнутой моноидальной категорией точечных множеств), пока существуют необходимые (со)пределы.
Простой и знакомый пример — прямая сумма V1⊕V2V_1 \oplus V_2 двух векторных пространств V1V_1 и V2V_2 над некоторым полем или, в более общем случае, двух модулей над некоторым кольцом. Вообще говоря, для II множество и {Vi}i∈I\{V_i\}_{i \in I} II-индексированное семейство векторных пространств или модулей, их прямая сумма ⨁i∈IVi\bigoplus_{i \in I } V_i — это набор формальных линейных комбинаций элементов в каждом из ViV_i. Это может частично мотивировать терминологию: элемент прямой суммы есть сумма элементов 9.0318 , по крайней мере, в этих случаях.
Это обобщается двумя разными способами, которые мы называем прямыми суммами и слабыми прямыми произведениями . Во многих случаях (как в примере выше) они совпадают, но не всегда. Также во многих случаях прямые суммы будут такими же, как и сопутствующие произведения. В любом случае конечные слабые прямые произведения совпадают с произведениями, но бесконечные версии (почти всегда) отличаются.
Терминология
Название «слабое прямое произведение» происходит от понятия прямого произведения в алгебре для произведения в конкретной категории, созданного забывчивым функтором; слабое прямое произведение будет подобъектом прямого произведения (и всего прямого произведения в конечных случаях).
Но здесь мы не будем ограничиваться контекстом такой конкретной категории.
Термин «прямая сумма» происходит от конечного побочного продукта (одновременно продукта и побочного продукта) в аддитивных категориях. Аддитивный характер этих побочных продуктов распространяется в бесконечном случае (где побочные продукты обычно больше не появляются) на побочный продукт, а не на продукт. Даже когда прямая сумма не совпадает с побочным продуктом, она все же сохраняет часть этого вкуса.
В классических примерах СС прямая сумма и слабое прямое произведение совпадают. Однако общие определения, приведенные ниже, в некоторых случаях различают их, и мы используем термины «прямая сумма» и «слабый прямой продукт», чтобы лучше всего передать смысл «как побочный продукт» и «часть продукта».
Определения
Пусть 𝒞\mathcal{C} — категория с произведениями и копроизведениями, а также с нулевыми морфизмами. Пусть II — множество, и пусть (Ai)i∈I(A_i)_{i \in I} — II-индексированное семейство объектов в 𝒞\mathcal{C}, следовательно, функция A:I→Obj(𝒞 )A : I \to Obj(\mathcal{C}).
Определим теперь как прямую сумму, так и слабое прямое произведение этого семейства. AiA_i будет называться прямыми слагаемыми или (слабыми) прямыми факторами .
Прямая сумма
Здесь мы должны предположить, кроме того, что 𝒞\mathcal{C} является регулярной категорией (или иначе имеет хорошее понятие образа).
Определение
Пусть rr — морфизм копроизведения ∐iAi\coprod_i A_i в произведение ∏iAi\prod_i A_i, характеризующееся наличием следующих компонентов
(Ai→∐A→r∏A→Aj)={IdAiifi= j0ijifi≠j, \левый( A_i \to \coprod A \stackrel{r}{\to} \prod A \to A_j \верно) «=» \левый\{ \множество{ Id_{A_i} и если\; я = дж \\ 0_{ij} и если\; я \neq j ,} \верно. \,
, где 0ij0_{ij} — нулевой морфизм из AiA_i в AjA_j.
Прямая сумма по семейству {Ai}\{A_i\} есть образ
∐iAi→coimr⨁iAi→imr∏iAi \coprod_i A_i \overset{\coim r}\to \bigoplus_i A_i \overset{\im r}\to \prod_i A_i
морфизма rr.
Слабое прямое произведение
Здесь мы рассматриваем конечные произведения
∏i∈FAi \prod_{i \in F} A_i
, поскольку FF варьируется по конечным подмножествам множества индексов II. (В конструктивной математике здесь используется «конечно индексированное» или «конечное по Куратовскому»… хотя если II имеет разрешимое равенство, как это имеет место в обычных примерах, то каждое конечно индексированное подмножество II на самом деле конечно в самом строгом смысле.)
Эти конечные произведения образуют прямую систему, индексируемую направленным множеством 𝒫finI\mathcal{P}_{fin}I конечных подмножеств II (упорядоченных по включению) с отображением
∏i∈FAi→∏i∈GAi, \prod_{i \in F} A_i \to \prod_{i \in G} A_i ,
, где F⊆GF \subseteq G, заданный как
∏i∈FAi≅∏i∈FAi×∏i∈G∖ F1→(id,0)∏i∈FAi×∏i∈G∖FAi≅∏i∈GAi. \prod_{i \in F} A_i \cong \prod_{i \in F} A_i \times \prod_{i \in G \setminus F} 1 \stackrel{(id, 0)}{\to} \prod_{ i \in F} A_i \times \prod_{i \in G \setminus F} A_i \cong \prod_{i \in G} A_i .
9wk_i A_i определяется как направленный копредел этой прямой системы.
Примеры
Пример
В категориях Grp или Ab (абелевых) групп прямая сумма и слабое прямое произведение совпадают. Для конечного числа объектов это то же самое, что и прямой продукт, который является продуктом в обеих категориях.
Предложение
В этих примерах прямая сумма также может быть описана более элементарно как подгруппа прямого произведения:
⨁i:IAi={(ai)i:I|ess∀(i:I) ,аи=0}, \bigoplus_{i: I} A_i = \левый\{ (a_i)_{i : I} \;|\; есс \для всех (i:I),\; а_я = 0 \верно\} \,
, где «ess∀ess \forall» означает «для всех, кроме конечного числа». Отсюда ясно, что прямая сумма равна прямому произведению, когда задействовано только конечное число объектов.
Для 𝒞=\mathcal{C} = Ab, RRMod это группа формальных линейных комбинаций элементов в слагаемых.
Пример
Для кольца RR прямые суммы в категории RRMod или модулей над RR задаются суммами на лежащих в их основе абелевых группах.
Пример
В категории точечных множеств прямая сумма и слабое прямое произведение различны. Слабое прямое произведение по-прежнему задается как точечное подмножество прямого произведения, как указано выше. Прямая сумма, с другой стороны, такая же, как сумма клина, которая совпадает с копроизведением в этой категории. Даже для 22 точечных множеств это отличается от слабого прямого произведения (которое, как всегда, совпадает с произведением для конечного числа объектов). 9p прямых сумм для 1≤p≤∞1 \leq p \leq \infty, хотя я не знаю, что, если каким-то универсальным свойствам они все удовлетворяют.) В этом случае прямая сумма совпадает с копроизведением, а слабое прямое произведение совпадает с произведением даже для бесконечного множества объектов. См. прямую сумму банаховых пространств.
Внутренние прямые суммы
Дан объект BB и семейство подобъектов? AiA_i из BB (или, в более общем смысле, семейство морфизмов Ai→BA_i \to B или, что то же самое, отображение ∐iAi→B\coprod_i A_i\to B), предположим, что прямая сумма ⨁iAi\bigoplus_i A_i существует.
Предположим далее, что отображение ∐iAi→B\coprod_i A_i \to B факторизуется через отображение ∐iAi→⨁iAi\coprod_i A_i \to \bigoplus_i A_i (что означает, что оно однозначно факторизуется, если ∐iAi→⨁iAi\coprod_i A_i \to \bigoplus_i A_i эпичен, как и должно быть в обычной категории). Наконец, предположим, что (или a) факторотображение ⨁iAi→B\bigoplus_i A_i\to B является изическим. Тогда мы говорим, что BB — это внутренняя прямая сумма AiA_i.
Напротив, абстрактно определенная прямая сумма ⨁iAi\bigoplus_i A_i может быть названа внешней прямой суммой . Эти термины обычно используются с конкретными категориями, где AiA_i может быть задана либо независимо (для внешней прямой суммы), либо как подмножества некоторого объемлющего пространства (либо BB, либо чего-то, из чего BB является подмножеством) для внутренней прямой суммы. В слишком абстрактном контексте разницы нет: с одной стороны, любая внутренняя прямая сумма a fortiori изоморфна любой внешней прямой сумме; с другой стороны, для данной внешней прямой суммы существует естественное отображение ∐iAi→⨁iAi\coprod_i A_i \to \bigoplus_i A_i, относительно которого внешняя прямая сумма является внутренней прямой суммой.